Hầu hết các phép biển đổi hình học mà giữ cho điểm gốc cố định là tuyến tính, bao gồm phép xoay (rotation), phép tỉ lệ (scaling), phép trượt (shearing), phép phản chiếu (reflection), và phép chiếu trực giao (orthogonal projection); nếu một biến đổi aphin không phải là một phép biến đổi thuần túy thì nó sẽ giữ một điểm nào đó cố định, và điểm đó sẽ được chọn làm gốc để phép biến đổi là tuyến tính.[4] Trong 2 chiều, phép biến đổi tuyến tính có thể được biểu diễn dùng một ma trận biến đổi 2×2.

Phép xoay

Khi xoay tọa độ một góc θ {\displaystyle \theta } thuận chiều kim đồng hồ quanh điểm gốc, dạng hàm của nó là.

x ′ = x sin ⁡ ( | θ | ) + y cos ⁡ ( | θ | ) {\displaystyle x'=x\sin(|\theta |)+y\cos(|\theta |)} . And y ′ = x cos ⁡ ( | θ | ) − y sin ⁡ ( | θ | ) {\displaystyle y'=x\cos(|\theta |)-y\sin(|\theta |)}

Viết dưới dạng ma trận:

[ x ′ y ′ ] = [ sin ⁡ ( | θ | ) cos ⁡ ( | θ | ) cos ⁡ ( | θ | ) − sin ⁡ ( | θ | ) ] [ x y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin(|\theta |)&\cos(|\theta |)\\\cos(|\theta |)&-\sin(|\theta |)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}

Phép tỉ lệ

Với tỉ lệ (nghĩa là giãn ra hay co lại), ta có x ′ = s x ⋅ x {\displaystyle x'=s_{x}\cdot x} và y ′ = s y ⋅ y {\displaystyle y'=s_{y}\cdot y} . Dạng ma trận là:

[ x ′ y ′ ] = [ s x 0 0 s y ] [ x y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}s_{x}&0\\0&s_{y}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}

Phép trượt

Phép trượt (visually similar to slanting), có hai khả năng.

• Trượt dọc theo trục tọa độ x có x ′ = x + k y {\displaystyle x'=x+ky} và y ′ = y {\displaystyle y'=y} ; dạng ma trận là:

[ x ′ y ′ ] = [ 1 k 0 1 ] [ x y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}

• Trượt song song theo trục y có x ′ = x {\displaystyle x'=x} and y ′ = y + k x {\displaystyle y'=y+kx} , có dạng ma trận là:

[ x ′ y ′ ] = [ 1 0 k 1 ] [ x y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\k&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}

Phép phản chiếu

Để phản chiếu một vectơ qua một đường thẳng đi qua gốc tọa độ, giả sử (ux, uy) là vectơ đơn vị theo hướng của đường thảng đó. Sau đó sử dụng ma trận biến đổi sau đây:

[ x ′ y ′ ] = [ 2 u x 2 − 1 2 u x u y 2 u x u y 2 u y 2 − 1 ] [ x y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2u_{x}^{2}-1&2u_{x}u_{y}\\2u_{x}u_{y}&2u_{y}^{2}-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}

Một phép phản chiếu qua một đường thẳng không đi qua gốc tọa độ không phải là một biến đổi tuyến tính; đó là một biến đổi affine.

Phép chiếu vuông góc

Để chiếu vuông góc một vectơ vào một đường thẳng đi qua gốc tọa độ, giả sử (ux, uy) là một vectơ đơn vị theo hướng đường thẳng đó. Sau đó sử dụng ma trận biến đổi sau đây:

[ x ′ y ′ ] = [ u x 2 u x u y u x u y u y 2 ] [ x y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}

Cũng như là phép phản chiếu, một phép chiếu vuông góc vào một đường thẳng không đi qua gốc tọa độ chỉ làmột biến đổi affine, không phải là biến đổi tuyến tính.

Phép chiếu song song cũng là biến đổi tuyến tính và có thể được biểu diễn đơn giản bằng một ma trận. Tuy vậy, phép chiếu theo tia nhìn (perspective projection) muốn biểu diễn bằng ma trận phải sử dụng trục tọa độ thuần nhất (homogeneous coordinates).